La magia dei numeri

 

Un paio di notti fa ero a letto a guardare alcune alcuni articoli e a un certo punto, ho preso quella che all'epoca pensavo fosse una decisione saggia, ovvero che avrei guardato solo un altro video prima di prendere sonno.

Non avevo assolutamente idea che il video che avevo scelto mi avrebbe tenuto insonne per ore. Non perché fosse lungo, ma perché ero scioccato dal fatto di non aver mai sentito parlare della meravigliosa matematica che conteneva.

Ciò che è ancora più strano è il fatto che il risultato stesso non sia stato scoperto per più di 2500 anni. Non perché fosse troppo difficile da dimostrare (il che accade spesso), ma perché nessuno aveva scoperto lo schema.

La matematica coinvolta è così semplice che anche i bambini delle scuole sarebbero in grado di capirla, eppure c'è ancora così tanto che non sappiamo al riguardo. Nonostante la matematica estremamente semplice coinvolta, la verità di fondo è rimasta nascosta dai tempi antichi fino al 1951, quando un matematico di nome Alfred Moessner fece una scoperta miracolosa.

Per spiegare la magia, iniziamo con qualcosa di molto semplice ma molto carino. Considerate le somme parziali dei numeri naturali dispari, ovvero

1 = 1,

1+3 = 4,

1+3+5 = 9,

1+3+5+7 = 16,

1+3+5+7+9 = 25.

Avete individuato lo schema? Ciò che otteniamo sono i nostri numeri quadrati, ovvero 1=1², 4=2², 9=3²,… Quindi le somme parziali dei numeri dispari sono quadrati! Gli antichi Greci lo sapevano e hanno persino fornito una geniale dimostrazione visiva di questo fatto.

Ciò che Moessner ha fatto è stato semplice, ha preso questo fatto e lo ha osservato da una prospettiva leggermente diversa. In particolare, ha inquadrato questo fatto in modo un po' più costruttivo. Quasi algoritmico.

Immagina di iniziare con tutti i numeri naturali:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,…

dove i tre punti significano "continua questo schema all'infinito". 

Quindi rimuovi ogni secondo numero. Quindi otteniamo i numeri dispari, ovviamente. Quindi la nuova sequenza di numeri è:

1, 3, 5, 7, 9, …

E prendi le somme parziali per ottenere i quadrati 1, 4, 9,...

Beh, sì, l'abbiamo appena visto. Ma quando utilizziamo questo approccio è più facile generalizzare.

Ora prendi di nuovo tutti i numeri naturali ma rimuovi ogni terzo numero per ottenere la sequenza numerica:

1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13,…

Prendi somme parziali per ottenere una nuova sequenza:

1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61,…

Rimuovi ogni secondo numero per ottenere:

1, 7, 19, 37, 61,…

Prendi di nuovo somme parziali per ottenere:

1, 8, 27, 64, 125,…

Riconosci questi numeri?… Sono i nostri cubi! 1=1³, 8=2³, 27=3³,…

Questo schema continua. Se iniziamo rimuovendo ogni n-esimo numero dai numeri naturali, prendiamo somme parziali per formare una nuova sequenza, rimuoviamo ogni n-esimo numero da quella sequenza e prendiamo somme parziali, rimuoviamo l'n-esimo numero, ecc., alla fine finiremo con le potenze di n.

Ne avevate mai sentito parlare? 

Semplice, ma è così bello.